Упражнение №56.20 по Алгебре 10-11 класс - Мордокович А.Г.

Описание задания

а) $\lg ^{2}x^{2}+\lg 10x-6=0$
б) $3^{x}+3^{-x+1}=4$
в) $2\cos ^{2}x-7\cos x-4=0$
г) $5^{2{\sqrt {x}}}+125=6\cdot 5^{{\sqrt {x}}+1}$

Решение задания

а) ${\begin{array}{l}{4\lg ^{2}x+1+\lg x-6=0}\\{4\lg ^{2}x+\lg x-5=0}\\{\lg x=y}\end{array}}$
$4y^{2}+y-5=0\Rightarrow (4y+5)(y-1)=0\Rightarrow$$\left[{\begin{array}{c}{y_{1}=-{\frac {5}{4}}}\\{y_{2}=1}\end{array}}\right.\Rightarrow \left[{\begin{array}{c}{\lg x=-{\frac {5}{4}}}\\{\lg x=1}\end{array}}\right.\Rightarrow \left[{\begin{array}{c}{x_{1}=10^{-{\frac {5}{4}}}}\\{x_{2}=10}\end{array}}\right.$
Ответ: $x_{1}=10^{-{\frac {5}{4}}};x_{2}=10$

б) ${\begin{array}{l}{3^{x}+3^{-x+1}=4}\\{3^{x}+{\frac {3}{3x}}-4=0}\\{3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3=0}\\{3^{x}=y>0}\end{array}}$
$y^{2}-4y+3=0\Rightarrow (y-1)(y-3)=0$$\Rightarrow \left[{\begin{array}{l}{y_{1}=1}\\{y_{2}=3}\end{array}}\right.\Rightarrow \left[{\begin{array}{l}{3^{x_{1}}=1}\\{3^{x_{2}}=3}\end{array}}\right.\Rightarrow \left[{\begin{array}{l}{x_{1}=0}\\{x_{2}=1}\end{array}}\right.$
Ответ: $x_{1}=0;x_{2}=1$

в) $2\cos ^{2}x-7\cos x-4=0$
${\begin{array}{l}{2\cos ^{2}x-7\cos x-4=0}\\{\cos x=y;-1\leq y\leq 1}\end{array}}$
$2y^{2}-7y-4=0\Rightarrow (2y+1)(y-4)=0\Rightarrow$$\left[{\begin{array}{l}{y=-{\frac {1}{2}}}\\{y=4>1}\end{array}}\right.$
$y=4>1$ - не подходит
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}{\cos x=-\frac{1}{2}} \\ {x=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n}\end{array}}
Ответ: Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n}

г) Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 5^{2 \sqrt{x}}+125=6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1}}
ОДЗ: Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \geq 0}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}{5^{2 \sqrt{x}}-6 \cdot 5 \cdot 5 \sqrt{x}+125=0} \\ {5^{2 \sqrt{x}}-30 \cdot 5^{\sqrt{x}}+125=0} \\ {5^{\sqrt{x}}=y>0}\end{array}}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y^{2}-30 y+125=0 \Rightarrow(y-5)(y-25)=0 \Rightarrow} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{y_{1}=5} \\ {y_{2}=25}\end{array}\right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^{\sqrt{x}}=5} \\ {5^{\sqrt{x}}=25}\end{array}\right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sqrt{x}=1} \\ {\sqrt{x}=2}\end{array}\right. \Rightarrow} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{x_{1}=1} \\ {x_{2}=4}\end{array}\right.}
Ответ: Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{1}=1 ; x_{2}=4}