Упражнение №28.18 по Алгебре 10-11 класса - Мордокович А.Г.

Описание задания

а) $y={\frac {x^{3}}{2x+4}};$
б) $y={\frac {x^{2}}{x^{2}-1}};$
в) $y={\frac {x^{2}}{3-4x}};$
г) $y={\frac {x}{x^{2}+1}}$

Решение задания

а) $y={\frac {x^{3}}{2x+4}};$
$y^{\prime }={\frac {\left(x^{3}\right)^{\prime }(2x+4)-x^{3}(2x+4)^{\prime }}{(2x+4)^{2}}}={\frac {3x^{2}(2x+4)-2x^{3}}{4(x+2)^{2}}}={\frac {6x^{3}+12x^{2}-2x^{3}}{4(x+2)^{2}}}=$${\frac {4x^{3}+12x^{2}}{4(x+2)^{2}}}={\frac {4x^{2}(x+3)}{4(x+2)^{2}}}={\frac {x^{2}(x+3)}{(x+2)^{2}}};$
б) $y={\frac {x^{2}}{x^{2}-1}};$
$y^{\prime }={\frac {\left(x^{2}\right)^{\prime }\left(x^{2}-1\right)-x^{2}\left(x^{2}-1\right)^{\prime }}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}}=$${\frac {2x\left(x^{2}-1\right)-x^{2}\cdot 2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}}={\frac {2x^{3}-2x-2x^{3}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}}$$=-{\frac {2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}};$
в) $y={\frac {x^{2}}{3-4x}};$
$y={\frac {\left(x^{2}\right)^{\prime }(3-4x)-x^{2}(3-4x)^{\prime }}{(3-4x)^{2}}}={\frac {2x(3-4x)+4x^{2}}{(3-4x)^{2}}}={\frac {6x-8x^{2}+4x^{2}}{(3-4x)^{2}}}$$={\frac {6x-4x^{2}}{(3-4x)^{2}}}={\frac {2x(3-2x)}{(3-4x)^{2}}};$
г) Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\frac{x}{x^{2}+1};}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y^{\prime}=\frac{x^{\prime}\left(x^{2}+1\right)-x\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{x^{2}+1-2 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}