Упражнение №2.10 по Алгебре 10 класса - Никольский С.М.

Описание задания

а) Упростите выражение:
$\left({\frac {a}{a-2b}}+{\frac {b}{a+2b}}\right)\cdot {\frac {a^{3}+8b^{3}}{a^{3}+3a^{2}b-2ab^{2}}}$
и найдите его значение при $a=0,5,b=-1$

б) Упростите выражение:
${\frac {a+2b}{3a-3b}}-{\frac {3c-a}{2a-2c}}+{\frac {a^{2}-bc}{a^{2}-ac+bc-ab}}$
и найдите его значение при $a={\frac {1}{6}},b=-1$

Решение задания

а) $\left({\frac {a}{a-2b}}+{\frac {b}{a+2b}}\right)\cdot {\frac {a^{3}+8b^{3}}{a^{3}+3a^{2}b-2ab^{2}}}=$${\frac {a^{2}+2ab+ab-2b^{2}}{a^{2}-4b^{2}}}\cdot {\frac {a^{3}+(2b)^{3}}{a\left(a^{2}+3ab-2b^{2}\right)}}=$${\frac {a^{2}+3ab-2b^{2}}{(a-2b)(2b+a)}}\cdot {\frac {(a+2b)\cdot 1a^{2}-2ab+4b^{2}}{a\left(a^{2}+3ab-2b^{2}\right)}}=$${\frac {a^{2}-20b+4b^{2}}{a(a-2b)}}={\frac {\left(a^{2}-2ab\right)+4b^{2}}{a^{2}-2ab}}=$$1+{\frac {4b^{2}}{a^{2}-2ab}}$

при $a=0,5,b=-1$

$1+{\frac {4\cdot (-1)^{2}}{95^{2}-2\cdot 0,5\cdot (-1)}}=1+{\frac {4}{925+1}}=1+3,2=4,2$

б) ${\frac {a+2b}{3a-3b}}-{\frac {3c-a}{2a-2c}}+{\frac {a^{2}-bc}{a^{2}-ac+bc-ab}}=$${\frac {(a-b)+b+2b}{3(a-b)}}+{\frac {a-3c}{2(a-c)}}+{\frac {a^{2}-bc}{a(a-b)-c(a-b)}}=$${\frac {(a-b)+3b}{3(a-b)}}+{\frac {(a-c)+c-3c}{2(a-c)}}+{\frac {a^{2}-bc}{(a-b)(a-c)}}=$${\frac {1}{3}}+{\frac {b}{a-b}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {c}{a-c}}+{\frac {a^{2}-bc}{(a-b)(a-c)}}=$${\frac {5}{6}}+{\frac {b(a-c)-c(a-b)}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {a^{2}-bc}{(a-b)(a-c)}}=$${\frac {(a-c)(a+b)}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {5}{6}}={\frac {a+b}{a-b}}+{\frac {5}{6}};$

при $a={\frac {1}{6}},b=-1$

${\frac {1/6-1}{1/6+1}}+{\frac {5}{6}}={\frac {-5/6}{7/6}}+{\frac {5}{6}}=-{\frac {5}{7}}+{\frac {5}{6}}={\frac {5}{42}}$