Упражнение №11.18 по Алгебре 10 класса - Никольский С.М.

Описание задания

Решите уравнение:

а) ${\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin x-{\frac {1}{2}}\cos x=-{\frac {1}{2}}$
б) ${\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin x+{\frac {1}{2}}\cos x={\frac {\sqrt {3}}{2}}$
в) $\sin x-{\sqrt {3}}\cos x=2$
г) ${\sqrt {2}}\cos x+{\sqrt {2}}\sin x=1$
д) $\sin x+\cos x=-1$
е) $\cos x+\sin x=0$

Решение задания

а) ${\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin x-{\frac {1}{2}}\cos x=-{\frac {1}{2}}$ или $\cos {\frac {\pi }{6}}\sin x-\sin {\frac {\pi }{6}}\cos x=-{\frac {1}{2}}$
$\sin \left(x-{\frac {\pi }{6}}\right)=-{\frac {1}{2}}\Rightarrow x_{1}-{\frac {\pi }{6}}=-{\frac {\pi }{6}}+2\pi n,n\in Z$ или $x_{2}-{\frac {\pi }{6}}==-{\frac {5\pi }{6}}+2\pi n,n\in Z$. Тогда $x_{1}=2\pi n,n\in Z;x_{2}={\frac {-2\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z$
б) ${\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin x+{\frac {1}{2}}\cos x={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ или $\cos {\frac {\pi }{6}}\sin x+\sin {\frac {\pi }{6}}\cos x={\frac {\sqrt {3}}{2}}=>\sin \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}=>x_{1}+{\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z$ или $x_{2}+{\frac {\pi }{6}}={\frac {2\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z$. Тогда Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{1}=\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n \in Z; x_{2}=\frac{3 \pi}{6}+2 \pi n =\frac{\pi}{2}+ 2\pi n, n \in Z}
в) Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin x-\sqrt{3} \cos x=2} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2} \operatorname{cin} x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x=1} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} \sin x-\cos \frac{\pi}{6} \cos x=1=-\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1=>\cos \left(x+\frac{\pi}{0}\right)=} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -1=3 x+\frac{\pi}{6}-\pi+\pi2 n, n \in Z \Rightarrow x=\frac{5 \pi}{6}+\pi2 n, n \in Z}
г) Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2} \cos x+\sqrt{2} \sin x=1} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right)=1} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2} \Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in z} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow x_{1}=\frac{7 n}{12}+2 \pi n} и Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{2}=-\frac{\pi}{12}+2 \pi n, n \in Z;}
д) Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin x+\cos x=-1} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right)=-1} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} \sin x+\sin \frac{\pi}{4} \cos x\right)=-1} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow x_{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n} и Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{2}=-\frac{\pi}{12}+2 \pi n, n \in Z;}
Тогда Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{1}=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n} и Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{3 \pi}{4}+2 \pi n, n \in Z; }
е) Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos x+\sin x=0} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right)=0} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow x=\frac{9 \pi}{4}+\pi n, n \in Z} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\left(\frac{8 \pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)+m=\left(\frac{\pi}{4}+2 n\right)+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z}