Упражнение №1.69 по Алгебре 10 класса - Никольский С.М.

Описание задания

Вычислите:

${\frac {C_{16}^{3}+C_{15}^{2}+C_{14}^{1}}{C_{16}^{4}+C_{15}^{3}+C_{14}^{2}}}$

Решение задания

${\frac {C_{16}^{3}+C_{15}^{2}+C_{14}^{1}}{C_{16}^{4}+C_{15}^{3}+C_{14}^{2}}}=$$\left({\frac {16!}{3!13!}}+{\frac {15!}{2!13!}}+{\frac {14!}{1!\cdot 13!}}\right):\left({\frac {16!}{4!12!}}+{\frac {15!}{3!12!}}+{\frac {14!}{2!12!}}\right)=$${\frac {16!\cdot 2!+15!\cdot 3!+14!\cdot 3!2!}{3!13!2!}}\cdot {\frac {4!12!\cdot 3!2!}{16!3!2!+15!\cdot 4!\cdot 2!+14!\cdot 4!3!}}=$${\frac {14!(15\cdot 16\cdot 2+15\cdot 6+6\cdot 2)}{13}}\cdot {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{14!(15\cdot 16\cdot 6\cdot 2+30\cdot 24+24\cdot 6)}}=$${\frac {6(5\cdot 16+15+2)}{13}}\cdot {\frac {24}{24(15\cdot 8+30+6)}}={\frac {6\cdot 97}{13\cdot 156}}={\frac {97}{338}}$